Як розв’язати логарифмічні рівняння

Зміст

• етапи
• Попереднє: знати, як перетворити логарифмічне рівняння в рівняння з потужностями
• Спосіб 1 Знайдіть х
• Спосіб 2 Знайдіть х використовуючи правило продукту логарифму
• Спосіб 3 Знайдіть х використовуючи правило коефіцієнта логарифму

Логарифмічні рівняння на перший погляд не є найпростішими для вирішення в математиці, але вони можуть бути перетворені в рівняння з експонентами (експоненціальна позначення). Таким чином, якщо вам вдасться здійснити це перетворення і якщо ви освоїте обчислення за допомогою потужностей, вам слід легко розв’язати подібні рівняння. Примітка: термін "журнал" час від часу буде використовуватися замість "логарифму", вони взаємозамінні.

етапи

Попереднє: знати, як перетворити логарифмічне рівняння в рівняння з потужностями

1. 
   

   
   Почнемо з визначення логарифму. Якщо ви хочете обчислити логарифми, знайте, що вони є не що інше, як особливий спосіб вираження повноважень. Почнемо з однієї з класичних умов логарифму:
   • y = журнал_б (Х)
     • якщо і тільки якщо: b = x
   • б є основою логарифму. Дві умови повинні бути виконані:
     • b> 0 (b має бути суворо позитивним)
     • б не повинно бути рівним 1
   • У експоненціальній позначенні (друге рівняння вище), там є сила і х - це так званий експоненціальний вираз, насправді значення якого шукає журнал.

2. 
   

   
   
   
   Дотримуйтесь рівняння уважно. Перед обличчям логарифмічного рівняння ми повинні визначити основу (b), потужність (y) та експоненціальний вираз (x).
   • приклад : 5 = журнал₄(1024)
     • b = 4
     • у = 5
     • х = 1024

3. 
   

   
   Поставте експоненціальний вираз на одну сторону рівняння. Розмістіть, наприклад, свою цінність х зліва від знаку "=".
   • приклад : 1024 = ?

4. 
   

   
   Підніміть базу до вказаної потужності. Значення, присвоєне базі даних (б) має бути помножено на себе стільки разів, скільки вказує потужність (там).
   • приклад : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Коротше кажучи, це дає: 4

5. 
   

   
   
   
   Напишіть свою відповідь. Тепер ви можете переписати логарифм в експоненціальні позначення. Переконайтесь, що ваша рівність правильна, повторивши обчислення.
   • приклад : 4 = 1024

Спосіб 1 Знайдіть х

1. 
   

   
   Виділіть логарифм. Мета справді - вперше зруйнувати колоду. Для цього ми передаємо всі не логарифмічні члени з іншого боку рівняння. Не забудьте змінити діючі ознаки!
   • приклад : журнал₃(х + 5) + 6 = 10
     • журнал₃(х + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • журнал₃(х + 5) = 4

2. 
   

   
   Запишіть рівняння в експоненціальній формі. Щоб мати змогу знайти «х», вам доведеться перейти від логарифмічної позначення до експоненціальної позначення, останню простіше вирішити.
   • приклад : журнал₃(х + 5) = 4
     • Починаючи з теоретичного рівняння y = журнал_б (Х)], застосуйте це до нашого прикладу: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Запишіть рівняння так: b = x
     • Отримаємо тут: 3 = x + 5

3. 
   

   
   знайти х. Зараз ви зіткнулися з рівнянням першого ступеня, яке легко вирішити. Це може бути другий або третій ступінь.
   • приклад : 3 = х + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = х + 5
     • 81 - 5 = х + 5 - 5
     • 76 = х

4. 
   

   
   Введіть свою остаточну відповідь. Значення, яке ви знайшли для "x", - це відповідь на ваше логарифмічне рівняння: log₃(х + 5) = 4.
   • приклад : х = 76

Спосіб 2 Знайдіть х використовуючи правило продукту логарифму

1. 
   

   
   Ви повинні знати правило, що стосується добутку (множення) колод. Згідно з першою властивістю журналів, що стосується добутку з колод (того ж базового сентенду!), Журнал продукту дорівнює сумі журналів елементів виробу. Ілюстрація:
   • журнал_б(m x n) = журнал_б(м) + журнал_б(N)
   • Дві умови повинні бути виконані:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Виділіть журнали на одній стороні рівняння. Мета справді - спочатку зруйнувати колоди. Для цього ми передаємо всі не логарифмічні члени з іншого боку рівняння. Не забудьте змінити діючі ознаки!
   • приклад : журнал₄(х + 6) = 2 - лог₄(Х)
     • журнал₄(x + 6) + журнал₄(x) = 2 - журнал₄(x) + журнал₄(Х)
     • журнал₄(x + 6) + журнал₄(х) = 2

3. 
   

   
   Застосуйте правило щодо виробу з колод. Тут ми застосуємо його у зворотному напрямку, а саме, щоб сума журналів дорівнювала логу виробу. Що нам дає:
   • приклад : журнал₄(x + 6) + журнал₄(х) = 2
     • журнал₄ = 2
     • журнал₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Перепишіть рівняння з потужностями. Нагадаємо, що логарифмічне рівняння може бути перетворене в рівняння з експонентами. Як і раніше, ми перейдемо до експоненціальних позначень, щоб допомогти вирішити проблему.
   • приклад : журнал₄(x + 6x) = 2
     • Починаючи з теоретичного рівняння, застосуємо його до нашого прикладу: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Запишіть рівняння так: b = x
     • 4 = х + 6х

5. 
   

   
   знайти х. Зараз ви зіткнулися з рівнянням другого ступеня, яке легко вирішити.
   • приклад : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = х + 6х
     • 16 - 16 = х + 6х - 16
     • 0 = х + 6х - 16
     • 0 = (х - 2) (х + 8)
     • х = 2; х = -8

6. 
   

   
   Напишіть свою відповідь. Часто ми маємо дві відповіді (коріння). У початковому рівнянні слід перевірити, чи ці два значення підходять. Дійсно, ми не можемо обчислити журнал від’ємного числа! Введіть єдино правильну відповідь.
   • приклад : x = 2
   • Ми ніколи цього не запам’ятаємо достатньо: журнал негативного числа не існує, тому його можна тут відхилити - 8 як рішення. Якби ми взяли -8 як відповідь, у базовому рівнянні ми мали б: log₄(-8 + 6) = 2 - лог₄(-8), тобто журнал₄(-2) = 2 - лог₄(-8). Неможливо обчислити журнал негативного значення!

Спосіб 3 Знайдіть х використовуючи правило коефіцієнта логарифму

1. 
   

   
   Ви повинні знати правило, яке стосується поділу колод. Згідно з другою властивістю журналів, що стосується поділу журналів (того ж базового сентенду!), Журнал коефіцієнта дорівнює різниці журналу чисельника та журналу знаменника. Ілюстрація:
   • журнал_б(m / n) = журнал_б(м) - журнал_б(N)
   • Дві умови повинні бути виконані:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Виділіть журнали на одній стороні рівняння. Мета справді - спочатку зруйнувати колоди. Для цього ми передаємо всі не логарифмічні члени з іншого боку рівняння. Не забудьте змінити діючі ознаки!
   • приклад : журнал₃(x + 6) = 2 + журнал₃(х - 2)
     • журнал₃(x + 6) - журнал₃(х - 2) = 2 + лог₃(х - 2) - журнал₃(х - 2)
     • журнал₃(x + 6) - журнал₃(х - 2) = 2

3. 
   

   
   Застосуйте правило коефіцієнта журналу. Тут ми застосуємо його у зворотному напрямку, а саме, щоб різниця колод дорівнювала логу коефіцієнта. Що нам дає:
   • приклад : журнал₃(x + 6) - журнал₃(х - 2) = 2
     • журнал₃ = 2

4. 
   

   
   Перепишіть рівняння з потужностями. Нагадаємо, що логарифмічне рівняння може бути перетворене в рівняння з експонентами. Як і раніше, ми перейдемо до експоненціальних позначень, щоб допомогти вирішити проблему.
   • приклад : журнал₃ = 2
     • Починаючи з теоретичного рівняння, застосуємо його до нашого прикладу: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Запишіть рівняння так: b = x
     • 3 = (х + 6) / (х - 2)

5. 
   

   
   знайти х. Тепер, коли немає більше журналів, але повноважень, ви повинні легко знайти х.
   • приклад : 3 = (х + 6) / (х - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (х + 6) / (х - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; помножимо обидві сторони на (x - 2)
     • 9х - 18 = х + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8х = 24
     • 8х / 8 = 24/8
     • х = 3

6. 
   

   
   Введіть свою остаточну відповідь. Візьміть назад свої розрахунки і зробіть перевірку. Коли ви впевнені у своїй відповіді, запишіть її остаточно.
   • приклад : x = 3